matika-fyzika

Tělesa se pohybují proti sobě

Při řešení těchto úloh se stanovují následující předpoklady:

A. Pod slovem TĚLESO si můžeme představit jakýkoli dopravní prostředek, osobu, zvíře ap.

B. Tělesa po celou dobu pohybu mají stálou (konstantní) rychlost. Tedy se předpokládá průměrná rychlost pohybu (v zadání se uvádí pouze - rychlost).

C. Vzdálenost, při konkrétním zadání nemusí odpovídat skutečnosti (např.: Praha - Plzeň - 90 km); cesta může být ve skutečnosti pokaždé jinak dlouhá.

D. U těles se předpokládá, že se pohybují po stejné dráze (cestě, silnici, prostoru ve vzduchu...).

E. Toleruje se zadání, které je často zkrácené. Např.: V jaké vzdálenosti se potkají? = Jakou ujedou vzdálenost od místa vyjetí (A; B) do stejného místa setkání či minutí se (C).

1. Tělesa se začnou pohybovat ve stejnou dobu (stejný čas)

VZOROVÝ PŘÍKLAD 1

ZADÁNÍ:

Auto se pohybuje z Prahy do Brna rychlostí 140 km/h. Proti němu jede nákladní automobil rychlostí 70 km/h. Vzdálenost z Prahy do Brna je 210 km. Obě auta vyjela ve stejnou dobu. Za jak dlouho se minou? Jakou ujede vzdálenost auto a jakou nákladní automobil? 

1. Ze zadání si vypíšeme zadané hodnoty:

v_P = 140 km/h
v_B = 70 km/h
s = 210 km

2. Můžeme si sestavit tabulku, která může pomoci s výpočtem (pokud ji nepotřebujeme, pokračujeme krokem 3.):

3. Sestavíme rovnici pro výpočet doby (času) jízdy = obě auta jedou stejnou dobu, protože vyjeli ve stejnou chvíli:

s = s_p + s_B 

4. Dosadíme zadané hodnoty a vypočítáme rovnici - výpočet doby jízdy obou vozidel:

210 = 140 • t + 70 • t
210 = 210 t
t = 210 : 210
t = 1 h

5. Vypočítáme vzdálenosti, která vozidla ujedou:

s_P = 140 • 1 = 140 km    ... dráha AUTA (z Prahy)

s_B = 70 • 1 = 70 km        ... dráha NÁKLADNÍHO AUTA (z Brna)

6. Napíšeme odpověď a nezapomeneme uvést správné jednotky.

Vozidla se minou za 1 h ve vzdálenosti 140 km od Prahy a 70 km od Brna.

VZOROVÝ PŘÍKLAD 2

ZADÁNÍ:

Auto se pohybuje z Plzně do Bratislavy rychlostí 90 km/h. Proti němu jede druhé auto rychlostí 70 km/h. Vzdálenost z Plzně do Bratislavy je 420 km. Obě auta vyjela ve stejnou dobu. Za jak dlouho se potkají? Jakou ujede vzdálenost auto z Bratislavy? 

v_P = 90 km/h
v_B =70 km/h
s = 420 km

s = s_P + s_B 
420 = 90t + 70t
420 = 160t
t = 420 : 160
t = 2,625 h = 2 h 37,5 min

s_B = 70 • t
s_B = 70 • 2,625
s_B = 183,75 km

Auta se potkají za 2 h 37,5 min ve vzdálenosti 183,75 km od Bratislavy.

2. Tělesa se začnou pohybovat v různou dobu

VZOROVÝ PŘÍKLAD 1

ZADÁNÍ:

Osobní vlak vyjíždí z Prahy v 9:00 do Hradce Králové a jede průměrnou rychlostí 60 km/h. V 9:30 vyjíždí opačným směrem vlak rychlostí 80 km/h. Z Prahy do Hradce Králové je vzdálenost 121 km. V jaké vzdálenosti od Prahy se vlaky minou. V kolik hodin se potkají?

1. Vypíšeme si ze zadání číselné údaje:

První vlak:                                                                            Druhý vlak:

čas 9:00   t₁                                                                         čas 9:30   t₂ ... vyjel o 0,5 h později  (- 0,5 h)

rychlost    v₁ = 60 km/h                                                       rychlost    v₂ = 80 km/h

2. Můžete si vytvořit přehlednou tabulku (pokud ji nepotřebujete přejděte k bodu 3)

3. Sestavíme rovnici (celková vzdálenost) pro výpočet doby jízdy prvního vlaku a vyřešíme rovnici:

        s₁ + s₂ = 120
60 • t₁  + 80 • (t₁ - 0,5) = 121
60 • t₁  + 80 • t₁ - 40 = 121
60 • t₁  + 80 • t₁ = 121 + 40
140 t₁ = 161
t₁ = 161 : 140
t₁ = 1,15 h = 1 h 9 min (zaokrouhleno)
Vlak z Prahy vyjel v 9:00 a jel 1:09. Potkají se v 10:09 h

4. Vypočítáme vzdálenost, kterou vlaky ujely:

s₁ = 60 • t₁                                                        s₂ = 80 • (t₁ - 0,5)
s₁ = 60 • 1,15                                                    s₂ = 80 • (1,15 - 0,5)
s₁ = 69 km                                                     s₂ = 80 • 0,65 = 52 km

5. Napíšeme odpověď:

Vlaky se potkají v 10:09 a ve vzdálenosti 69 km od Prahy.