DĚLITELNOST
JE VLASTNOST
CELÝCH ČÍSEL
DĚLITELNOST
Díky dělitelnosti můžeme (i bez kalkulačky) zjistit, zda zadané číslo lze dělit beze zbytku. Nejčastěji se dělitelnost využívá při dělení čísly 1 až 10.
Příklad:
Pokud máme nějaký počet kusů – třeba 250 a chceme zjistit na kolik částí je můžeme rozdělit, aby výsledkem bylo opět celé číslo.
Řešení pro počet 250 může být hned několik:
| Na 10 dílů po 25 | 250 : 10 = 25 |
| Na 5 dílů po 50 | 250 : 5 = 50 |
| Na 2 díly po 125 | 250 : 2 = 125 |
| Na 250 dílů po 1 | 250 : 250 = 1 |
Dělitelnost lze dobře ukázat třeba i na malé násobilce:
2 x 3 = 6 Číslo 6 je tedy dělitelné dvojkou a trojkou (a jedničkou i šestkou).
7 x 5 = 35 Číslo 35 je tedy dělitelné sedmičkou a pětkou (a jedničkou i 35).
V mnoha případech i u malé násobilky lze dokázat, že jedno číslo může být dělitelné více čísly:
3 x 6 = 18 Číslo 18 je dělitelné trojkou a šestkou.
2 x 9 = 18 Číslo 18 je dělitelné dvojkou a devítkou.
1 x 18 = 18 Číslo 18 je dělitelné jedničkou a osmnáctkou.
Tedy číslo 18 lze dělit: 1; 2; 3; 6; 9; 18.
Existují příklady, kdy je dělitelnost ještě snazší:
2 x 2 = 4 Číslo 4 je dělitelné dvojkou (ale ještě také 1 a 4).
5 x 5 = 25 Číslo 25 je dělitelné pětkou (ale ještě také 1 a 25).
ZNAKY DĚLITELNOSTI – ÚVOD
Všechna čísla se skládají z číslic: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
Pro tuto skupinu čísel (číslic) byly stanoveny tzv. znaky dělitelnosti.
Jedná se o pravidla, podle kterých lze zjistit, zda je dané číslo některou z číslic (nula až deset) dělitelné, aniž bychom to museli počítat (dělit).
Pozor: Zjišťujeme, zda dané číslo můžeme dělit, ale nechceme znát výsledek dělení!
ZNAKY DĚLITELNOSTI
Než se pustíme do znaků dělitelnosti, uvedeme si dvě základní pravidla, která platí pro úplně všechna celá čísla.
ČÍSLO NULA – 0
Pravidlo:
NULOU dělit NELZE!
Příklady:
34 : 0 = NELZE
1 456 : 0 = NELZE
JAKÉKOLI celé ČÍSLO
Pravidlo:
Každé číslo lze vydělit sebou samým. Jen nulu NE!
Příklad:
27 : 27 = LZE (= 1)
4 : 4 = LZE (= 1)
0 : 0 = NELZE
ZNAKY DĚLITELNOSTI
Přehled znaků dělitelnosti pro čísla od 1 do 10
ČÍSLO JEDNA – 1
Pravidlo 1
Všechna čísla jsou dělielná jedničkou.
Příklady:
234 : 1 = LZE (= 234)
12 : 1 = LZE (= 12)
0 : 1 = LZE (= 0)
ČÍSLO DVA – 2
Pravidlo 2
Číslo je dělitelné dvěma, pokud končí číslicí: 0; 2; 4; 6; 8. Tedy dvojkou se dělí pouze sudá čísla!
| 340 | je dělitelné 2 | 61 | není dělitelné 2 | ||
| 5 672 | je dělitelné 2 | 3 | není dělitelná 2 | ||
| 44 644 | je dělitelné 2 | 435 | není dělitelné 2 | ||
| 36 | je dělitelné 2 | 27 | není dělitelné 2 | ||
| 148 | je dělitelné 2 | 7 899 | není dělitelné 2 |
ČÍSLO TŘI – 3
Pravidlo 3
Číslo je dělitelné třemi, pokud je ciferný součet číslic dělitelný 3.
| 156 | ciferný součet: (1 + 5 + 6 = 12) | 12 : 3 =4 | 156 | je dělitelné 3 | ||
| 4 272 | ciferný součet: (4 + 2 + 7 + 2 = 15) | 15 : 3 =5 | 4 272 | je dělitelné 3 | ||
| 3510 | ciferný součet: (3 + 5 + 1 + 0 = 9) | 9 : 3 = 3 | 3510 | je dělitelné 3 | ||
| 43 | ciferný součet: (4 + 3 = 7) | 7 : 3 = ne | 43 | není dělitelné 3 | ||
| 20 456 | ciferný součet: (2+0+4+5+6=17) | 17 : 3= ne | 20 456 | není dělitelné 3 | ||
| 391 | ciferný součet: (3 + 9 + 1 = 13) | 13 : 3 = ne | 391 | není dělitelné 3 |
ČÍSLO ČTYŘI – 4
Pravidlo 4
Číslo je dělitelné čtyřmi, pokud poslední dvojčíslí je dělitelné 4. Čísla do 100 se musí dělením vypočítat (výsledek beze zbytku).
| 5612 | poslední dvojčíslí 12 | 12 : 4 = 3 | 5 612 | je dělitelné 4 | ||
| 64 | poslední dvojčíslí 64 | 64 : 4 = 16 | 64 | je dělitelné 4 | ||
| 4 324 144 | poslední dvojčíslí 44 | 44 : 4 = 11 | 4324144 | je dělitelné 4 | ||
| 61 | poslední dvojčíslí 61 | 61 : 4 = 15 (zb.1) | 61 | není dělitelné 4 | ||
| 12 345 129 | poslední dvojčíslí 29 | 29 : 4 = 7 (zb.1) | 12 345 129 | není dělitelné 4 | ||
| 658 | poslední dvojčíslí 58 | 58 : 4 = 14 (zb.2) | 357 | není dělitelné 4 |
ČÍSLO PĚT - 5
Pravidlo 5
Číslo je dělitelné pěti, pokud končí na číslici 0 a 5
| 340 | je dělitelné 5 | 34 | není dělitelné 5 | |
| 4 565 | je dělitelné 5 | 967 | není dělitelné 5 |
ČÍSLO ŠEST – 6
Pravidlo 6
Číslo je dělitelné šesti, pokud je současně dělitelné 2 a 3 (tedy sudé číslo končící na 0; 2; 4; 6; 8 a ciferný součet je dělitelný 3).
| 972 | je sudé | cif. součet je (9 + 7 + 2 = 18), tedy je dělitelný 3 | 972 je dělitelné 6 | ||
| 424 | je sudé | cif. součet je (4 + 2 + 4 = 10), tedy není dělitelný 3 | 424 není dělitelné 6 | ||
| 723 | není sudé | 723 není dělitelné 6 |
ČÍSLO SEDM – 7
Pravidlo 7
Existující pravidla, ale jsou složitá, proto se v tomto případě nejčastěji rovnou provede dělení a výsledek musí vyjít beze zbytku.
| 3 171 : 7 = 453 (zb. 0) | 3 171 je dělitelné 7 |
| 456 : 7 = 65 (zb. 1) | 456 není dělitelné 7 |
Jedno z možných pravidel dělitelnosti:
Poslední číslici vynásobíme dvěma a odečteme ji od zbytku čísla (zbylé cifry bez té poslední). Takový výsledek musí být dělitelný sedmi. Lze postupně opakovat, až se dostaneme k malým hodnotám.
např. 1 946 >> 194 -6*2 = 194-12 = 182 >> 18 -2*2 = 18-4 = 14 >> ANO číslo 1946 je dělitelné 7
ČÍSLO OSM – 8
Pravidlo 8
Číslo je dělitelné osmi, pokud poslední trojčíslí je dělitelné 8. Číslo do 1000 se musí zkusit dělením (výsledek beze zbytku)
| 11 360 | poslední trojčíslí 360 : 8 = 45 | 11 360 | je dělitelné 8 | ||
| 1 248 | poslední trojčíslí 248 : 8 = 31 | 1 248 | je dělitelné 8 | ||
| 45 056 | poslední trojčíslí 056 tedy 56 : 8 = 7 | 45 056 | je dělitelné 8 | ||
| 72 | 72 : 8 = 7 | 72 | je dělitelné 8 | ||
| 152 | 152 : 8 = 19 | 152 | je dělitelné 8 | ||
| 3 145 | poslední trojčíslí 145 : 8 = 18 (zb. 1) | 3 145 | není dělitelné 8 | ||
| 567 | poslední trojčíslí 567 : 8 = 70 (zb. 7) | 567 | není dělitelné 8 | ||
| 67 | 67 : 8 = 8 (zb. 3) | 67 | není dělitelné 8 |
ČÍSLO DEVĚT – 9
Pravidlo 9
Číslo je dělitelné devíti, pokud je ciferný součet dělitelný 9
| 8 973 | ciferný součet: (8 + 9 + 7 + 3 = 27) | 27 : 9 = 3 (zb.0) | 8 973 | je dělitelné 9 | ||
| 5 678 | ciferný součet: (5 + 6 + 7 + 8 = 26) | 26 : 9 = 2 (zb.8) | 5678 | není dělitelné 9 |
ČÍSLO DESET – 10
Pravidlo 10
Číslo je dělitelné deseti, pokud končí na nulu.
| 340 | je dělitelné 10 | 346 | není dělitelné 10 | |
| 24 000 | je dělitelné 10 | 2 457 | není dělitelné 10 |
ZNAKY DĚLITELNOSTI - přehled
Dělitelnost je vlastnost celých čísel. Stanovuje pravidla, kdy jde celá čísla dělit beze zbytku. Výsledek dělení se nezjišťuje.
Dáváme pouze odpověď na otázku: Je číslo dělitelné? - Ano / Ne.
Stručný přehled pravidel dělitelnosti
|
Dělíme číslem |
pravidlo |
|
0 |
Nulou dělit nelze!!! |
|
1 |
Všechna čísla lze dělit 1 |
|
2 |
Všechna sudá (čísla končí na 0, 2, 4, 6, 8) |
|
3 |
Ciferný součet dělíme 3 |
|
4 |
Poslední dvojčíslí dělíme 4 (čísla do 100 dělíme) |
|
5 |
Číslo končí na 0 nebo 5 |
|
6 |
Musí jít dělit 2 a 3 (sudé a ciferný součet dělíme 3) |
|
7 |
Čísla dělíme |
|
8 |
Poslední trojčíslí dělíme 8 (čísla do 1000 dělíme) |
|
9 |
Ciferný součet dělíme 9 |
|
10 |
Číslo končí na 0 |
Vysvětlení pojmů v tabulce na příkladech:
Ciferný součet:
Pro číslo 3 587 znamená, že vypočítáme: 3 + 5 + 8 + 7 = 23
Poslední dvojčíslí:
Pro číslo 3 587 je to 87
Pro číslo 506 je to 06, tedy 6
Poslední trojčíslí:
Pro číslo 12 456 879 je to 879
Pro číslo 10 800 je to 800
Pro číslo 2 045 je to 045 tedy 45
Pro číslo 45 003 je to 003 tedy 3
ZNAKY DĚLITELNOSTI pro pokročilejší
Na základě základních znaků dělitelnosti čísly 2 až 10 je možné odvodit mnoho dalších pravidel:
- Pokud je číslo dělitelné 2 i 3 je dělitelné 6
- Pokud je číslo dělitelné 2 i 4 je dělitelné 8
- Pokud je číslo dělitelné 9 je dělitelné i 3
- Pokud je číslo dělitelné 2 i 5 je dělitelné 10
- Pokud je číslo dělitelné 3 i 5 je dělitelné 15
- Pokud je číslo dělitelné zároveň 2; 3; 4 i 6 je dělitelné 12
A šlo by tak pokračovat dále…